监理问题，请教各位老师

A公司投资建设一套煤化工装置，该项目由B公司以EPC方式总承包。合同约定：涉及装置建设的合同价格、工艺技术路线、关键设备、主要材料的重要变动必须告知监理单位并得到A公司批准。B公司通过招标选择C厂承担核心设备汽化炉的制造，选择D公司承担生产装置的安装调试。A公司委托E监理公司对汽化炉的制造过程和全部装置的安装、调试过程进行监理。项目实施过程中发生
如下事件：
事件1：D公司编写了《安装调试方案》并报送到E监理公司本部，E公司总工程师审阅后，当即签字认可。然后转交该项目现场监理机构。
事件2：由B公司负责采购的汽化炉简体板材缺货，C厂向B公司提出用某新型板材替代的建议，B公司考虑到工期紧张，在对新型板材的有关技术性能参数复核后，直接签发设计变更文件。
事件3：在安装现场，专业监理工程师发现D公司安装高压设备中使用的高强螺栓中混入了外观相似的普通碳钢螺栓，认为问题严重，当即向D公司签发停工令，并报告了总监理工程师。
事件4：为消除上述事件的安全隐患，B公司根据项目监理机构的书面要求，委托一检测单位对已使用的螺栓逐个进行光谱分析鉴别。检测后，检测单位向B公司索要检测费用，B公司说该检测是项目监理机构要求的，应向监理单位索要，随即检测单位向E监理公司索要检测费用，但遭到拒绝。
问题：

事件4中，E公司是否有权拒绝向检测单位支付检测费用，并说明理由。检测公司应通过何种途径才能获得检测费用？