案例：

为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几何直观能力等，在一节习题课上，甲、乙两位教师各设计了一道典型例题。

【教师甲】

如图１，在边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＡＤ边上一点（不同于Ａ、Ｄ），连接ＣＥ。在该正方形边上选取点Ｆ，连接ＤＦ，使ＤＦ＝ＣＥ。请解答下面的问题：

（１）满足条件的线段ＤＦ有几条？

（２）根据（１）的结论，分别判断ＤＦ与ＣＥ的位置关系，并加以证明。

【教师乙】

如图２，在边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＡＢ边上的点（点Ｅ、Ｆ均不与正方形顶点重合），且ＡＥ＝ＢＦ，ＣＥ、ＤＦ相交于点Ｍ。证明：

（１）ＤＦ＝ＣＥ；

（２）ＤＦ⊥ＣＥ。

问题：

（１）分析两位教师例题设计的各自特点。（10分）

（２）直接写出教师甲的例题中两个问题的结论（不必证明）。（４分）

（３）结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题？（请写出至少两个问题）（６分）