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试用确界原理证明区间套定理。
参考答案和解析
{a n } 递增有界,根据单调有界定理, { a n } 必有极限 ξ ,使得 a n ≤ξ ,同理 {b n } 递减有极限,由 b n -a n →0(n→∞) 可知 且 b n ≥ξ ,即 a n ≤ξ≤b n , n=1,2,... 。 唯一性 设还存在 τ ,使得 a n ≤τ≤b n 则 由区间套条件 2 可知 有 |ξ-τ|≤b n -a n →0(n→∞) ,故 ξ=τ 推论:若 ξ ∈ [ a n , b n ] 是区间套 {[ a n , b n ]} 所确定的点,则对任给的 ε>0 ,存在 N>0, 使得当 n>N 时有 [ a n , b n ] Ì U(ξ, ε) 区间套的各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立。对于开区间,如 {(0,1/n)}, 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个,且区间长度可以无限小,但不存在属于所有开区间的公共点。
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罗尔定理：设函数(x)满足条件：(1)在闭区间[a，b]上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)(a)=(b)，则在(a，b)内至少存在一点ξ，使得，′(ξ)=0。证明这个定理并说明其几何意义。
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