数学奥林匹克高中训练题88

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数学奥林匹克高中训练题88

（一）单项选择题（共8分，每小题2分）

1．下列词语中加点粗的注音有错误的一项是

A．寒噤（jìn）禁锢（ɡù）广袤无垠（mào）

B．琐屑（xiāo）吊唁（yán）毛骨悚然（sǒnɡ）

C．妖娆（ráo）愕然（è）孜孜不倦（zī）

D．颓唐（tuí）恻隐（cè）万恶不赦（shè）

正确答案：B

对任何一棵二叉树，若n0，n1，n2分别是度为0，1，2的结点的个数，则n0=(41)。

A．n1+1

B．n1+n2

C．n2+1

D．2n1+1

正确答案：C
解析：这是二叉树的性质。

已知递归函数f(n)的功能是计算1+2+…+n，且n≥1，应采用的代码段是______。

A．if n＞1 then return 1 else return n+f(n-1)

B．if n＞1 then return 1 else return n+f(n+1)

C．if n＜1 then return 0 else return n+f(n-1)

D．if n＜1 then return 0 else return n+f(n+1)

正确答案：C
解析：递归函数的目的是执行一系列调用，一直到达某一点，序列终止。为了保证递归函数正常执行，应该遵守下面的规则：
(1)每当一个递归函数被调用时，程序首先应该检查其基本的条件是否满足，例如，某个参数的值等于零，如果是这种情形，函数应停止递归。
(2)每当函数被递归调用时，传递给函数一个或多个参数，应该以某种方式变得“更简单”。即这些参数应该逐渐靠近上述基本条件。例如，一个正整数在每次递归调用时会逐渐变小，以至最终其值能到达零。
在本题中，f(n)的功能是解决1+2+…+n的累加问题，可用下面的递归公式表示f(n)：
f(n)=0 (n=0)
f(n)=n+f(n-1) (n1)
因此可知，f(n)应采用的代码段为：
if n1
then return 0
else return n+f(n-1)。

设n位二进制数（从00…0到11…1）中不含连续三位数字相同的数共有F(n)个，显然F(1)=2，F(2)=4。以下选项中有一个公式是正确的，通过实例验证选出的是（）。

A.F(n)=2n (n≥1) B.F(n)=n2-n+2 (n≥1) C.F(n)=F(n-1)+4n-6 (n≥2) D.F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

正确答案：D

设A是一个n阶方阵，已知 A =2，则 -2A 等于：

A.（-2）n+1
B.（-1）n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22

答案：B

解析：

数学奥林匹克高中训练题 (88)第一试一、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分 )1. 已知A = n N| 1 n 2 006且 ( n +4,30) 1.则 A) = ( ) .(A) 1 605 (B) 1 537 (C) 1 471 (D) 1 = 1 ,2 ,3 ,4 , f A A . 则没有自对应的映射 f 的个数为 ( ) .(A) 45 (B) 50 (C) 81 (D) 843. 下面给出 4 个命题 :(1)在 , + - 恒为正值 ;(2) 在 , + + 恒为正值 ;(3) 在 , + + 恒为正值 ;(4) 在非直角 , + + 恒为正值正确的命题有 ( ) 个 .(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 足 1 =0 ( n N+ ) . 下面给出 5 个判断 : 0 n 0) ,外椭圆方程为 1 ( a b 0) . 过椭圆的任一点 M 作切线交椭圆 P、 Q 两点 ,过 P、 Q 作椭圆切线 . 则此两切线的交点 R 的轨迹方程为 ( ) .(A) 1 (B)1(C) 1 (D) 16. 已知点 P( x , y) 在曲线 C :( 2 + 1上 . 则 | ( O 为坐标原点 ) 的最小值为( ) .(A) 12 (B) 22 (C) 32 (D) 1二、填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分 )f ( x) = x + x + x +x + x + x 的值域知

设A是一个n阶方阵，已知 A =2，则 -2A 等于：

A.（-2）n+1
B.（-1）n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22

答案：B

解析：

设n位二进制数(从00…0到11…1)中不含连续三位数字相同的数共有F(n)个，显然F(1)=2，F(2)=4。以下选项中有一个公式是正确的，通过实例验证选出的是( )。

A.F(n)=2n (n≥1)
B.F(n)=n2-n+2 (n≥1)
C.F(n)=F(n-1)+4n-6 (n≥2)
D.F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

答案：D

解析：

本题考查数学应用(排列组合)基本能力。
当n=3时，除3位全0或全1外，其他情况都是不含连续3位数字相同，因此F(n)=8-2=6。当n=4时，除0001、1000、0000、1110、0111、1111外，其他情况都不含连续3位数字相同，因此F(n)=16-6=10。
供选答案A、B、C、D中，对于n=1～4，F(n)的值如下：

因此，可以选出公式D是正确的。
当n=5时，除000**、1000*、01000、11000；111**、0111*、00111、10111外，其他情况都是不含连续3位数字相同，因此，F(n)=32-16=16。
进一步计算表明，n≥3时，n位二进制数中不含连续三位数字相同的数中，末两位数字不同的数有F(n-1)个，末两位数字相同的数有F(n-2)个。

设A是一个n阶方阵，已知 A =2，则 -2A 等于：

A.（-2）n+1
B.（-1）n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22

答案：B

解析：

设A是一个n阶方阵，已知 A =2，则 -2A 等于：

A.（-2）n+1
B.（-1）n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22

答案：B

解析：

设A是一个n阶方阵，已知 A =2，则 -2A 等于：

A.（-2）n+1
B.（-1）n2 n+1
C.-2 n+1
D.-22

答案：B

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