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设A,B,C是集合,f是A到B的函数，g是B到C的函数，下列说法不正确的是：
A．f的逆关系也是函数。
B．如果f和g都是满射函数,则g•f也是满射函数。
C．如果f和g都是双射函数,则g•f也是双射函数。
D．如果f和g都是单射函数，则g•f也是单射函数。
参考答案和解析
当复合函数g f是单射函数时，f和g不一定都是单射函数。 例如，集合A={a 1 ，a 2 ，a 3 }，B={b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 )，C={c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 }；f是A到B的函数，且有f(a 1 )=b 1 ，f(a 2 )=b 2 ，f(a 3 )=b 3 ；g是B到C的函数，且有g(b 1 )=c 1 ，g(b 2 )=c 2 ，g(b 3 )=c 3 ，g(b 4 )=c 4 。即 易见，复合函数g f是单射函数，而函数g不是单射函数。 但可以证明：当g f是单射函数时，则f必须是单射函数。 用反证法，设f不是A到B的单函数，即在A中存在着两个元素a i 和a j ，a i ≠a j ，而f(a i )=f(a j )。由此可得，当a i ≠a j 时 g f(a i )=g(f(a i ))=g(f(a j ))=g (a j )这和g f是单射函数的假设矛盾。所以当g f是单射函数时，f必须是单射函数。$当g f是满射函数时，f和g不一定都是满射函数。 例如，集合A={a 1 ，a 2 ，a 3 }，B={b 1 ，b 2 ，b 3 }，C={c 1 ，c 2 )；f是A到B的函数，且f(a 1 )=b 1 ，f(a 2 )=b 2 ，f(a 3 )=b 2 ；g是B到C的函数，且g(b 1 )=c 1 ，g(b 2 )=c 2 ，g(b 3 )=c 2 ；即 易见，复合函数g f是满射函数，而函数f不是满射函数。 但可以证明：当g f是满射函数时，则g必须是满射函数。 要证明g是B到C的满射函数，即证对于C中任意元素C，必有b∈B，且f(b))=c。 因为g f是A到C的满射函数，所以对于C中任意元素c，必存在着A中元素a，使得 g f(a)=c因此，在B中存在元素b(取b=f(a))，使得g(b)=c，即证得g是B到C的满射函数。$当g f是双射函数时，f和g不一定都是双射函数。 例如，A={a 1 ，a 2 ，a 3 )，B={b 1 ，b 2 ，b 3 ，b 4 }，C={c 1 ，c 2 ，c 3 }；f是A到B的函数，且f(a 1 )=b 1 ，f(a 2 )=b 2 ，f(a 3 )=b 3 ；g是B到C的函数，且g(b 1 )=c 1 ，g(b 2 )=c 2 ，g(b 3 )=c 3 ，g(b 4 )=c 3 ，即 易见，复合函数g f是双射函数，而f和g都不是双射函数。 但可以证明：当g f是双射函数时，则f必须是单射函数，g必须是满射函数。 利用解的(1)和(2)的结论，即可证得。 因为当g f是双射函数时，g f也是单射函数，由(1)结论可知，f必是单射函数。 同样，双射函数g f也是满射函数，由(2)结论可知，g必是满射函数。
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