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设A是n阶实对称矩阵，证明：A正定的充分必要条件是，A的特征多项式的根全大于零.

参考答案和解析
设二次型X T AX经过正交变换X=TY可使得X T AX=λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 其中λ 1 λ 2 …λ n 为A的特征值．由于A为正定的充分必要条件是λ 1 y 1 2 +λ 2 y 2 2 +…+λ n y n 2 正定而后者为正定的充分必要条件是λ i >0(i=12…n)得证． 设二次型XTAX经过正交变换X=TY,可使得XTAX=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2,其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值．由于A为正定的充分必要条件是λ1y12+λ2y22+…+λnyn2正定,而后者为正定的充分必要条件是λi>0(i=1,2,…,n),得证．
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